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高中数学《4.1 二项式定理》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点:

一、定理内容


二、基本概念

①二项式展开式:

等式右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式

②二项式系数:

展开式中各项的系数中的

③项数:

展开式第r+1项,是关于a,b的齐次多项式.

④通项:

展开式的第r+1项,记作


三、几个提醒

①项数:

展开式共有n+1项.

②顺序:

注意正确选择a与b,其顺序不能更改,

即:(a+b)n和(b+a)n是不同的.

③指数:

a的指数从n到0, 降幂排列;

b的指数从0到n,升幂排列。

各项中a,b的指数之和始终为n.

④系数:

正确区分二项式系数项的系数

二项式系数指各项前面的组合数;

项的系数指各项中除去变量的部分(含二项式系数)。

⑤通项:

通项是指展开式的第r+1项.


视频教学:


练习:

1.在的展开式中,的系数为                     (    )

    A            B            C.            D.

2. 已知, 的展开式按a的降幂排列,其中第n 项与第n+1项相等,那么正整数n等于            (    )

       A.4             B.9             C.10                 D.11

3.已知(的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2,则n是   (    )

A.10               B.11                  C.12                D.13

4.5310被8除的余数是            (    )

       A.1       B.2       C.3       D.7

5. (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是      (    )

A1.23                 B1.24              C1.33             D1.34

6.二项式 (nN)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是            (    )

 A1              B.2            C3               D.4

7.设(3x+x)展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若t+h=272,则展开式的x项的系数是            (    )

A       B.1            C.2              D.3

8.在的展开式中的系数为                        (    )

A.4          B.5          C.6          D.7

9.展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是

                                        (    )

          A.330          B.462          C.680          D.790

10.的展开式中,的系数为      (    )

 A.-40          B.10           C.40           D.45


课件:


教案:

一、教材解析

《二项式定理》是《-数学》的内容,这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续,也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析、特殊化方法及处理数据等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点,因为它是后面各种应用的基础.通项公式,二项式系数的性质,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

二、教学目标

 1.知识技能目标

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

(2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理。

(3)掌握对简单的二项式进行展开,能够对项的系数与二项式系数进行区分,并能求出指定项。

2.过程与方法目标

通过学生经历二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、归纳的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会归纳-猜想-论证的思想方法,发展探究能力。


3.情感、态度、价值观目标

培养学生自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简捷和严谨。

三、教学重难点

重点:用两个计数原理分析的展开式得到二项式定理;掌握二项展开式的通项公式;能应用它解决一些简单问题。

难点:用两个计数原理分析推导的展开式;用两个计数原理证明二项式定理。

四、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识,已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够,研究问题的方法和能力有待提高,有些学生容易粗心,对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明,由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习,让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程,提高学生分析解决问题的能力。

在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习。

教法和学法

通过学生经历二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、归纳的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会归纳-猜想-论证的思想方法,发展探究能力。培养学生自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简捷和严谨。利用多媒体课件,以增加课堂容量和知识的直观性,从而提高学生学习的兴趣,使学生进一步加深对定理概念的理解。


 六教学过程及设计意图

教学程序

问    题

设计意图

师生活动






创设问题情境

引入新课

引出问题:如果今天是星期五,14天后的这一天是星期几呢?23天后的这一天呢?

师生归纳:比如23=7×3+2,所以23天后是星期日。

算法:用各个数除以7,看余数是多少,

再用五加余数来推算

师:再过82016天后是星期几,你知道吗?

不方便求出82016除以的余数,可以利用8=7+1,得到82016=(7+1)2016=?

如果不用计算器的话,此时就需要研究

提出问题激发学生探索欲望,并引出课题

让学生用计算器计算

从特殊开始

由(a+b)1=a+b

     (a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2;

     (a+b)3=(a+b)2×(a+b)=?

结果:

体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。

与学生一同计算,得到计算结果,为后面做铺垫。

探究一:通过组合思想来分析(a+b)3的展开式 展开后

①项的形式为:

②项的系数,考虑

:每个都不取的情况有1种,即 ,则前的系数为

:恰有1个取的情况有种,则前的系数为

:恰有2个取的情况有 种,则前的系数为

:恰有3个取的情况有 种,则前的系数为所以

 

考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。

学生说出自己的思路,老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。

探究二:观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化,你发现了什么?由此猜想(a+b4 ,(a+b)n的展开式中项数,指数变化及系数变化又如何呢?并试着写出他们的展开式。

回答:


 

让学生通过特例去观察相同之处与不同之处,以及不同之处的处理方法,从而提出猜想。

学生先观察总结特点:

1.项数是指数加1;

2.字母a按降幂排列,字母b按照升幂排列,二者指数之和是二项式指数;3、每一项的系数有上面的问题2给出,这很好的突破了本节的难点。

探究三:

对于猜想

我们如何进行证明呢?

证明:n相乘,每个在相乘时,有两种选择,选a或选b,由分步计数原理可知展开式共有项(包括同类项),其中每一项都是的形式,对于每一项,它是由r选了bnr选了a得到的,它出现的次数相当于从n中取rb的组合数,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.

让学生体会利用组合思想从特殊到一般,对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。

师生讨论证明思路,通过

阅读课本上的证明过程,老师最后做出方法归类,提示学生证明的思路。并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明。

思考观察


学习新课

观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点,谁最具代表性?

(1)项:二项展开式共有项;

(2)次数:各项的次数都等于n

字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n

(3)二项式系数:

(4)二项展开式的通项:=

考察学生的观察力,以及分析问题的能力。

学生继续总结这三点,以强化已有的认识,同时老师强调:二项式系数,与二项展开式系数的区别。

特殊的情况

1.用-b代替b.

写出的展开式


2.令a=1,b=2x.

写出的展开式


对二项式定理的简单应用,同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法:赋值或是赋表达式。

学生自主完成,老师进行检查,通过投影仪将学生的结果进行展示,错误时做出点拨与分析。



破解疑惑



今天是星期五, 再过82016天后是星期几,你知道吗?

即82016除以7余数是1。

故再过82016天后的那一天是星期六。


破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷,增强对数学学习的热情,

学生提出解决思路,老师点评分析,怎么才能被7整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式,问题得到解决,留为课下计算。

精讲精析


巩固新知

再探索对于的展开式

思考1:展开式的第2项的系数是多少?

思考2:展开式的第2项的二项式系数是多少?

思考3:你能否直接求出展开式的第2项?      

熟悉二项式定理,以及对二项式系数,展开式系数,以及x的系数问题的理解与记忆。

教师板演过程,给学生以示范,为后面步骤的整洁做铺垫。


反馈练习

课堂练习

1、求的展开式的第三项

2、求的展开式的第三项


熟悉二项式定理,二项式系数,二项展开式系数,以及通项的初步应用,理解二项式展开式的项的顺序。

学生自主练习,反馈教学效果,老师巡视做个别辅导。

课堂小结

本节课你学习了什么知识,他是怎么得到的呢?在学习这部分知识时要注意什么呢?

让学生回顾本节要点,观察学生掌握情况。

学生说,教师课件演示,并强调:二项式系数与二项展开式系数的区别。

布置作业

课本37页 习题1.3 A组 2、4


课后探究:1、用数学归纳法证明二项式定理 

          2、利用网络查阅“杨辉三角”有关知识

让学生巩固本节课的所学内容和知识。



七、板书设计

1.3.1二项式定理

(1)项数:二项展开式共有项;

(2)次数:各项的次数都等于n

字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n

(3)二项式系数:

(4)二项展开式的通项:=


例题1

例题2

练习1     

练习2

作业:课本37页 习题1.3 A组 2、4

 



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