高中数学《1.2向量的基本关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点:
1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量
2.平面向量的数量积的几何意义:数量积
3.两个向量的数量积的性质 设
1
3当
4cos =
4.平面向量数量积的运算律
① 交换律:
③ 分配律:(
5.平面向量数量积的坐标表示
①已知两个向量
②设
③平面内两点间的距离公式 如果表示向量
④向量垂直的判定 两个非零向量
⑤两向量夹角的余弦 cos =
视频教学:
练习:
课件:
教案:
【教学目标】
1.掌握共线向量、相等向量、向量夹角的概念.
2.正确区分向量平行与直线平行.
【教学重难点】
共线向量、相等向量、向量夹角的概念.
【教学过程】
一、基础铺垫
向量的有关概念:
名称 | 定义 | 表示方法 |
相等向量 | 长度相等且方向相同的向量 | 若a等于b,记作a=b |
向量平行 或共线 | 表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行 | a与b平行或共线,记作a∥b. 规定:零向量与任一向量共线 |
向量的夹角 | a与b垂直,记作a⊥b. 规定:零向量可与任一向量垂直 |
二、合作探究
1.相等向量与共线向量
[探究问题]
(1)如果两个非零向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有什么关系?
[提示] 方向相同或相反.
(2)表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系?
[提示] 表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合.
(3)如果非零向量→与→是共线向量,那么点A,B,C,D是否一定共线?
[提示] 不一定共线.
(4)与向量a共线的单位向量有几个?
[提示] 当a≠0时,有两个;当a=0时,有无数个.
(1)与a的模相等的向量有多少个?
(2)与a的长度相等,方向相反的向量有哪些?
(3)与a共线的向量有哪些?
[思路探究] 由题目可获得以下主要信息:
①六边形ABCDEF是正六边形;
②→=a,→=b,→=c;
③求各相应向量.
解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断,从而解决相应问题.
[解] (1)与a的模相等的向量有23个.
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有→,→,→,→.
(3)与a共线的向量有→,→,→,→,→,→,→,→,→.
(1)本例中→=c,其他条件不变,试分别写出与a,b,c相等的向量.
[解] 与a相等的向量有→,→,→;与b相等的向量有→,→,→;与c相等的向量有→,→,→.
(2)本例条件不变,与→共线的向量有哪些?
[解] 与→共线的向量有→,→,→,→,→,→,→,→,→.
【规律探究】
(1)向量共线有三种情形:
①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.
(2)向量的平行与直线平行的关系
两条直线平行时,直线上的有向线段平行,两向量平行时,表示向量的有向线段所在直线不一定平行,也可能重合.若直线m,n,l,m∥n,n∥l,则m∥l;若向量a,b,c,a∥b,b∥c,而a,c不一定平行.
2.向量的夹角
【例2】如图,等边三角形ABC中,点D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点,指出如下各组向量的夹角.
[解]
(1)
(2)因为
(3)延长FD至B\\\\\\\\\\\\',使DB\\\\\\\\\\\\'=FD,则∠EDB\\\\\\\\\\\\'=120°.
三、课堂总结
1.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.
2.向量垂直也就是向量夹角为90°,按照规定,零向量既可以和任意向量平行,也可以和任意向量垂直.
四、课堂检测
1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点,则终点构成的图形是________;若这些向量是单位向量,则终点构成的图形是________.
一条直线 两个点 [因为向量平行,且表示它们的有向线段有共同的起点,所以终点在一条直线上;而对于单位向量,其大小都是一个单位,所以它们的终点在起点的两侧,且距起点一个单位,所以终点构成的图形是两个点.]
2.如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.
(2)写出与→模相等的向量.
[解] (1)→=→=→,→=→.
(2)→,→,→.
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