高中数学《4.1 函数的奇偶性》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
一、函数的奇偶性定义：
1．偶函数：一般地，对于函数
2．奇函数：一般地，对于函数
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个
3、可逆性：
4、等价性：
5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于
6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征
一般地：
奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y）
偶函数的图像关于
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）
奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。）
偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
五、关于函数奇偶性的简单应用
1、函数的对称性
如果函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线⑮______对称．
一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的对称轴方程是⑯______.
两个函数
2、函数的周期性
函数的周期性的定义：设函数y＝f(x)，x∈D，若存在非零常数T，使得对任意的x∈D都有⑰________，则函数
f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(3)周期函数不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也一定是f(x)的周期．
若函数f(x)对定义域中任意x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，它的一个周期是⑱________.若
六、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数奇偶性的方法：
（1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查
1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；
若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系
若
若
2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．
3．由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其
对称区间上的性质．
4．若T是f(x)的一个周期，则kT(k≠0，k∈Z)也是f(x)的周期．
5．(1)若函数f(x)存在两条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数；若函数f(x)具有奇偶性，又
有一条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数．
6．注意函数性质的逆向应用．
（2）、图像法：
f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y）
f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）
（3）、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断
函数奇偶性。
（4）、性质法
（5）、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
1)若f(x)与g(x)都是奇函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)都是奇函数，f(x)·g(x)与为偶函数．
2)若f(x)与g(x)都是偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，都是偶函数．
3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；
4)若f(x)与g(x)中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，
f(x)·g(x)，都为奇函数．
3．若y＝f(x)为奇函数，且y＝f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
性质
1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。
2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数
若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数
若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称
视频教学：
练习：
1．函数f(x)＝x2(x＜0)的奇偶性为()
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案
D
解析
∵函数f(x)＝x2(x＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，
∴函数f(x)＝x2(x＜0)为非奇非偶函数．
2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
D．y＝x|x|
答案
D
解析
由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．
3．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为()
A．f(x)＝－x＋1
B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝x－1
答案
B
解析
设x＜0，则－x＞0.
∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴f(x)＝－x－1(x＜0)．
4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()
A．0
B．1
C．2
D．4
答案
A
解析
由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
答案
4
解析
由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.
课件：
教案：
一、说教材
《函数的奇偶性》是人教版必修一3.3.2的内容，全面介绍了偶函数的定义及判定，奇函数的定义及判定两部分知识，在此之前，学生已经学习了函数的概念及其表示，函数的单调性等知识，本节课的学习也将为后面学习指数函数、对数函数、三角函数奠定了基础。
（一） 教学目标：
设三维教学目标：
1. 知识与技能目标：理解函数的奇偶性及其几何意义，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 过程与方法目标：运用数形结合的思想，培养学生的观察、分析和归纳等数学能力。
3. 情感态度与价值观目标：让学生了解数学在生活中的应用，提高学生数学学科的核心素心，引发学生学习数学知识的兴趣。
（二） 教学重点、难点：
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。
教学难点：判断函数的奇偶性的方法。
二、学情分析
本课的授课对象是高一年级的学生，他们思维活跃，求知欲强，有一定的抽象概括能力，数学建模能力和合情推理能力，并具备一定的数学基础知识，但仍需要教师的指导。
三、教法学法
教法：本节课采用教师启发，引导发现，比较等方法进行教学。
学法：学生采用自主探究，合作交流，归纳总结等方法，充分发挥学习小组的合作作用。
四、教学准备
教师制作多媒体课件，编印导学案。
五、教学过程
本节课我从导、探、练、拓、升五个环节进行授课。
环节一：创设情境，导入新课。（导）
该环节，教师用多媒体向学生展示现实生活中蝴蝶、太阳等具有对称性的图像，再让学生举例函数图像是否有类似的属性？通过师生互动，引出本节课的课题：函数的奇偶性。
本环节的设计意图是：采用问题探究导入法，有效地引起学生的注意，激发学生学习本节课的兴趣，便于环节二的开展。
环节二：合作探究，获取新知（探）
该环节，我分两个模块进行。
模块一：学习偶函数。（板书知识点的小标题）。该模块中，让学生动手操作，画出函数fx=x^2和gx的图像，观察并思考两个函数图像有什么共同特征？可以发现，这两个函数的图像都关于y轴对称。接下来由教师提出探究问题，请学生类比函数单调性，用符号语言精确地描述这一特征，引导学生列表观察，小组讨论，得出结论：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等，由此引导学生归纳总结出偶函数的定义：定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。同时通过多媒体课件展示3.2-7中的两个偶函数图像，加深学生对于偶函数的理解。
模块二：学习奇函数。（板书知识点的小标题）。让学生观察函数f(x)=x和f(x)=的图像有什么共同特征？引导学生得出两个函数的图像都关于原点成中心对称图形。借助之前偶函数的学习方法，用相同的教学方法引导学生自主探究并推导出奇函数的定义，即：对定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。同时通过多媒体课件展示3.2-8中的两个奇函数图像，加深学生对于奇函数的理解。
模块三：师生共同完成例题6，教师应本着“授人以鱼不如授人以渔”的思想，引导学生运用偶函数、奇函数的定义，判断题目中所给函数的奇偶性，在做题过程中提醒学生注意函数定义域的范围，强调奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域。
本环节的设计意图是：采用讲授、研讨、探究、评价、训练、等多种教学手段，使学生正确理解和掌握本节课的知识要点。通过生生、师生共同活动，使学生学会表达、倾听、反思，享受探索知识的快乐与成功。
环节三：强化训练，目标达成。（练）
1.巩固练习，挑选习题让学生进行练习，教师巡视，并根据学生的做题情况选出两名有代表性的同学到展示区进行板演。然后教师对板演情况进行辨析讲评。
2.达标测试，限时完成课堂达标测评试题，教师展示答案，学生自我纠错。
这样设计能够检查学生的学习效果，便于及时对学生进行查缺补漏。
环节四：联系生活，拓展延伸（拓）
引导学生运用所学知识解决实际问题，将数学与实际生活相联系，提高学生的实践能力与创新意识，学会举一反三。
环节五：总结提升，布置作业（升）
对本节课知识点进行梳理，启发引导学生进行自主归纳。布置两种作业。一种是基础型作业，一种是扩展型作业。既可以巩固所学知识，又能把课堂所学应用于实践当中，从而实现教学目的。
六、说板书设计
我的板书设计以直观具体形象为原则，将本节课的教学重点清晰地呈现在黑板上，方便学生理解掌握。
我的说课到此结束，谢谢各位专家老师!
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